Giovanni Grazia è nato a San Lazzaro di Savena nel 1957 e ha iniziato a correre nella ciclistica del suo paese nel 1970, a tredici anni nella categoria Leva Giovanile.
La prima gara la fece sul circuito dei Palazzetti dove giunse secondo alle spalle di Claudio Marchesini dell'Italia Nuova, mentre il primo successo lo colse ai Giardini Margherita di Bologna nel campionato provinciale dello stesso anno. Nel 1971 ottenne quattordici vittorie fra le quali le tre prove del campionato provinciale giungendo poi settimo nella finale italiana di Roma: venne poi premiato dal Panathlon Club di Bologna e dall'Unione Atleti Azzurri d'Italia come miglior giovane bolognese.
Passato nella categoria esordienti, ottenne sette vittorie, compreso il titolo regionale Uisp nell'apposita gara che si svolse a Calderara di Reno. Arrivato tra gli allievi, continuò a vincere conquistando quattro successi e quattordici piazzamenti nei primi dieci posti.
Nel '75 passò fra i dilettanti di terza serie vincendo sette gare e ottenendo un ottimo secondo posto nel campionato regionale. L'anno successivo fu azzurro a Budapest (Ungheria) nella Coppa Vasas dove s'impose in una tipo pista che si svolse in diverse prove.
A fine anno lasciò la ciclistica di casa per approdare alla Nicolò Biondo di Carpi nella categoria dilettanti seconda serie, ma dopo una sola stagione lasciò la società (in sostanza smise di correre) per forti attriti con la dirigenza: "Non vennero mantenute le promesse che mi erano state fatte — spiega l'ex atleta —. Ma la goccia che fece traboccare il vaso fu che in occasione di una partenza per una gara, uno dei dirigenti mi lasciò a terra preferendo caricare in auto al posto mio un tifoso. La faccenda mi disgustò molto e così a fine stagione decisi di appendere la bici al chiodo".
